Question

6．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=$\frac{1}{4}$CD，有以下结论：①∠BAE=30°；②△ABE∽△AEF；
③AE⊥EF；  ④△ADF∽△ECF．
其中正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 推导出∠B=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1，从而△ABE∽△ECF，进而∠AEF=∠B=90°，由此能得到△ABE∽△AEF，AE⊥EF．

解答 解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=$\frac{1}{4}$CD，
∴∠B=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1．
∴△ABE∽△ECF．
∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．
∵BE=CE，∠FEC+∠EFC=90°，
∴AB：AE=BE：EF，∠AEB+∠FEC=90°．
∴∠AEF=∠B=90°．
∴△ABE∽△AEF，AE⊥EF．
∴②③正确．
故选：B．

点评 本题考查命题真假的判断，考查三角形相似等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．