Question

1．已知$sin（α+β）=\frac{5}{13}$，$tan\frac{α}{2}=\frac{1}{2}$，其中α，β∈（0，π），求tanα，cosβ的值．

Answer 1

分析 利用二倍角的正切函数求解tanα，cosβ=cos[（α+β）-α]结合同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数即可．

解答 解：因为$tan\frac{α}{2}=\frac{1}{2}$，α∈（0，π），
∴$tanα=\frac{{2tan\frac{α}{2}}}{{1-{{tan}^2}\frac{α}{2}}}=\frac{1}{{\frac{3}{4}}}=\frac{4}{3}$，∵$tanα=\frac{4}{3}＞1$，
∴$α∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，∴$sinα=\frac{4}{5}，cosα=\frac{3}{5}$，
又∵$sin（α+β）=\frac{5}{13}＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$α+β∈（\frac{π}{2}，π）$，
又∴$cos（α+β）=-\frac{12}{13}$，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$（-\frac{12}{13}）•\frac{3}{5}+\frac{5}{13}•\frac{4}{5}=-\frac{16}{65}$．

点评 本题考查二倍角公式以及两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．