Question

18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0（x＞0），则不等式xf（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-1，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 利用所给不等式的特点结合导函数与原函数的关系首先确定函数的单调性，然后结合函数在x=1处的函数值可得函数在（0，+∞）上的符号，最后利用奇函数的性质整理计算即可求得最终结果．

解答 解：由题意可得：$\frac{xf'（x）-f（x）}{{x}^{2}}=（\frac{f（x）}{x}）'＞0（x＞0）$，
则函数$\frac{f（x）}{x}$ 在（0，+∞）为增函数，且当x=1时，有 $\frac{f（1）}{1}=f（1）=0$；
故函数$\frac{f（x）}{x}$ 在（0，1）有$\frac{f（x）}{x}＜0$，又有x＞0，则此时f（x）＜0，
同理，函数x＞1时，f（x）＞0，
当x＞0时，xf（x）＞0即f（x）＞0，不等式的解集为：（1，+∞），
函数f（x）为奇函数，则当x＜0时，由对称性可得在（-∞，-1）上，f（x）＜0，在（-1，0）上f（x）＞0，
当x＜0时，xf（x）＞0即f（x）＜0，不等式的解集为：（-∞，-1），
很明显x=0不满足题意，
综上可得：不等式xf（x）＞0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性，导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．