Question

20．若a=${∫}_{-1}^{1}$（x|x|+sinx+5）dx，则（x-$\frac{1}{2}$）⁶（3x-1）^a展开式的系数和为16．

Answer 1

分析 首先利用定积分的性质求得实数a的值，然后赋值令x=1即可求得最终结果．

解答 解：函数f（x）=x|x|+sinx 是定义在区间[-1，1]上的奇函数，则：${∫}_{-1}^{1}（x|x|+sinx）dx=0$，
据此可得：$a={∫}_{-1}^{1}（x|x|+sinx+5）dx={∫}_{-1}^{1}5dx=（5x）{|}_{-1}^{1}=10$，
则所考查的代数式为：${（x-\frac{1}{2}）}^{6}{（3x-1）}^{10}$，
令x=1可得其展开式的系数和为：${（1-\frac{1}{2}）}^{6}×{（3×1-1）}^{10}=\frac{1}{{2}^{6}}×{2}^{10}={2}^{4}=16$．
故答案为：16．

点评 本题考查了定积分的计算，二项式系数的求解，奇函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．