Question

9．设数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S_n，且a₁a₅=64，S₅-S₃=48．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设有正整数m，l（5＜m＜l），使得a_m，5a₅，a_l成等差数列，求m，l的值；
（3）设k，m，l∈N*，k＜m＜1，对于给定的k，求三个数 5a_k，a_m，a_l经适当排序后能构成等差数列的充要条件．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，由a₁a₅=${{a}_{3}}^{2}$=64，得a₃=8，再由S₅-S₃=48，q=2，由此能求出a_n．
（2）由a_m，5a₅，a_l成等差数列，得到5=2^m-6+2^l-6，从而2^m-6，2^l-6中有且只有一个等于1，再由正整数m，l满足5＜m＜l，能求出结果．
（3）设5a_k，a_m，a_l经适当排序后能构成等差数列，由2•5a_k=a_m+a_l，得到$\left\{\begin{array}{l}m=k+1\\ l=k+3\end{array}$；由2a_m=5a_k+a_l，得到等式2a_m=5a_k+a_l不成立；由2a_l=5a_k+a_m，推导出等式也不成立，从而m=k+1，l=k+3．由此推导出5a_k，a_m，a_l经适当排序后能构成等差数列的充要条件为$\left\{\begin{array}{l}m=k+1\\ l=k+3\end{array}$．

解答 解：（1）因为数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，所以设数列{a_n}的公比为q，且q＞0．
又a₁a₅=${{a}_{3}}^{2}$=64，且a₃＞0，所以a₃=8．
又因为S₅-S₃=48，所以a₄+a₅=8q²+8q=48，解得q=2，所以a_n=2ⁿ．
（2）因为a_m，5a₅，a_l成等差数列，所以10a₅=a_m+a₁，即10×2⁵=2^m+2^l．
所以5=2^m-6+2^l-6．
故2^m-6，2^l-6中有且只有一个等于1．
因为正整数m，l满足5＜m＜l，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{m-6}=1}\\{{2}^{l-6}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{l=8}\end{array}\right.$．
（3）设5a_k，a_m，a_l经适当排序后能构成等差数列．
①若2•5a_k=a_m+a_l，则10•2^k=2^m+2^l，
当且仅当10=2^m-k+2^l-k，当且仅当5=2^m-k-1+2^l-k-1．
因为正整数k，m，l满足k＜m＜l，当且仅当l-k-1＞m-k-1≥0，且l-k-1≥1，
所以 2^l-k-1＞2^m-k-1≥1，2^l-k-1≥2．当且仅当$\left\{\begin{array}{l}2m-k-1=1\\ 2l-k-1=4\end{array}$ 即$\left\{\begin{array}{l}m=k+1\\ l=k+3\end{array}$
②若2a_m=5a_k+a_l，则2•2^m=5•2^k+2^l，所以2^m+1-k-2^l-k=5（*）．
因为m+1-k≥2，l-k≥2，
所以2^m+1-k与2^l-k都为偶数，而5是奇数，所以，等式（*）不成立，
从而等式2a_m=5a_k+a_l不成立．
③若2a_l=5a_k+a_m，则同②可知，该等式也不成立．
综合①②③，得m=k+1，l=k+3．
设m=k+1，l=k+3，则5a_k，a_m，a_l为5a_k，a_k+1，a_k+3，即5a_k，2a_k，8a_k．
调整顺序后易知2a_k，5a_k，8a_k成等差数列．
综上所述，5a_k，a_m，a_l经适当排序后能构成等差数列的充要条件为$\left\{\begin{array}{l}m=k+1\\ l=k+3\end{array}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列、裂项求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．