Question

14．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥AC，BC⊥PA，由此能证明BC⊥平面PAC．
（2）求出三角形ADC面积，由M是PC的中点，得M到平面ACD的距离h=$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}$，由此能求出三棱锥M-ACD的体积．

解答 证明：（1）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，
∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1，
∴BC⊥AC，BC⊥PA，
∵AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．
解：（2）${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}×AD×DC$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∵M是PC的中点，M到平面ACD的距离h=$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}$，
∴三棱锥M-ACD的体积：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ADC}×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．