Question

19．下列叙述中正确的有（2）（3）（4）．（把你认为正确的序号全部写上）
（1）命题?x＞0，ln（x+1）＞0 的否定为?x₀＞0，ln（x₀+1）＜0
（2）若函数f（x）=（m²-1）x^m是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数 m=$\sqrt{2}$
（3）函数y=3^x的图象与函数y=-3^-x的图象关于原点对称；
（4）若函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，则f（x）+f（1-x）=1
（5）函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3），若f（x）值域为R，则实数a的取值范围是（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 （1）根据全称命题的否定是特称命题，即可判断正误；
（2）根据幂函数的定义与性质，求出m的值即可；
（3）根据函数图象关于原点对称的性质，即可得出结论；
（4）计算f（x）+f（1-x）的值即可；
（5）根据对数函数的图象与性质求出实数a的取值范围．

解答 解：对于（1），命题?x＞0，ln（x+1）＞0 的否定为?x₀＞0，ln（x₀+1）≤0，∴（1）错误；
对于（2），函数f（x）=（m²-1）x^m是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-1=1}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得m=$\sqrt{2}$，∴（2）正确；
对于（3），任取函数y=3^x的图象的点P（x，y），它关于原点对称的点P′（-x，-y），
在函数y=-3^-x的图象上，反之也成立，∴（3）正确；
对于（4），函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，则
f（x）+f（1-x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{2}{2{+4}^{x}}$=1，∴（4）正确；
对于（5），函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）的值域为R，则
（-2a）²-12≥0，解得a≤-$\sqrt{3}$或a≥$\sqrt{3}$，
∴实数a的取值范围是（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）．
综上，以上正确的命题是（2）、（3）、（4）．
故答案为：（2）（3）（4）．

点评 本题利用命题真假的判断考查了对数函数的性质、简易逻辑以及幂函数的应用问题，是综合题．