Question

4．设f（x）=a（x-5）²+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）依题意，f′（1）=2，解得a．
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{1}{2}$（x-5）²+6lnx（x＞0），f′（x）=x-5+$\frac{6}{x}$=$\frac{（x-2）（x-3）}{x}$．令f′（x）=0，得x=2或3．可得x，f′（x），f（x）的变化情况列出表格，即可得出函数f（x）的单调区间与极值．

解答 解：（1）f′（x）=2a（x-5）+$\frac{6}{x}$，
依题意，f′（1）=6-8a=2，得a=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{1}{2}$（x-5）²+6lnx（x＞0），
f′（x）=x-5+$\frac{6}{x}$=$\frac{（x-2）（x-3）}{x}$．
令f′（x）=0，得x=2或3．
x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，2）	2	（2，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

故f（x）的单调增区间为（0，2）和（3，+∞），
单调减区间为（2，3）．
f（x）的极大值f（2）=$\frac{9}{2}$+6ln2，极小值f（3）=2+6ln3．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．