Question

12．已知函数f（x）=-$\frac{π}{2x}$，g（x）=xcosx-sinx．当x∈[-3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是6．

Answer 1

分析 先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=-π；g（2π）=2π；g（3π）=-3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．

解答 解：g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx；
令g′（x）=0得x=kπ，k∈Z．
∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，
且g（0）=0，g（π）=-π；g（2π）=2π；g（3π）=-3π；
故作函数f（x）与g（x）在[0，3π]上的图象如下，

结合图象可知，两图象在[0，3π]上共有3个交点；
又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，
∴f（x）与g（x）在[-3π，3π]上共有6个交点，故f（x）=g（x）有6个零点．
故答案为：6．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．