Question

12．给出下列结论：
（1）若f（x）是R上奇函数且满足f（x+2）=-f（x），则f（x）的图象关于x=1对称；
（2）若（2x+$\sqrt{3}$）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²的值为-1；
（3）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分概率为c，且a，b，c∈（0，1），若他投篮一次得分的数学期望为2，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$的最小值为$\frac{16}{3}$；
其中正确结论的序号为（1）（3）．

Answer 1

分析 （1）f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），利用-x替换x，可得f（2-x）=f（x），从而得出f（x）的图象关于x=1对称；
（2）由（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄）（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄），令x=1和x=-1，代入计算即可；
（3）由题意，3a+2b+0•c=2，a，b，c∈（0，1），利用基本不等式求出$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{3b}$的最小值即可得出结论．

解答 解：对于（1），∵f（x）是R上奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），
∴f（-x+2）=-f（-x）=f（x），
∴f（-x+1）=f（x+1），
∴f（x）的图象关于x=1对称，（1）正确；
对于（2），（2x+$\sqrt{3}$）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，
∴（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄）（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄）
=${（2+\sqrt{3}）}^{4}$${（2-\sqrt{3}）}^{4}$=（4-3）⁴=1，∴（2）错误；
对于（3），由题意，3a+2b+0•c=2，a，b，c∈（0，1），
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{3b}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{3b}$）•$\frac{1}{2}$（3a+2b）=$\frac{1}{2}$（6+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{2}{3}$）≥$\frac{1}{2}$（$\frac{20}{3}$+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{20}{3}$+4）=$\frac{16}{3}$（当且仅当a=2b，即a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$时取“=”），（3）正确；
综上，正确结论的序号为（1）、（3）．
故答案为：（1）、（3）．

点评 本题考查了命题真假的判断以及考查二项式定理、函数的奇偶性、对称性及基本不等式的应用问题，是综合题．