Question

8．定义在R上的函数f（x），对任意的实数x，均有f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2且f（1）=2，则f（2015）的值为2016．

Answer 1

分析 令x=-1，则f（2）≤f（-1）+3，f（1）=2≥f（-1）+2，得f（-1）≤0，令x=0，则f（3）≤f（0）+3，f（2）≥f（0）+2．令x=1，f（4）≤f（1）+3=5，f（3）≥f（1）+2=4，．令x=2，则f（4）≥f（2）+2，f（0）+4≤f（2）+2≤f（4）≤5，从而求出f（0）=1，f（2）=3，f（-1）=0，f（x+6）=f（x）+6，由此能求出f（2015）．

解答 解：令x=-1，则f（2）≤f（-1）+3，f（1）=2≥f（-1）+2，得f（-1）≤0，
令x=0，则f（3）≤f（0）+3，f（2）≥f（0）+2．
令x=1，f（4）≤f（1）+3=5，f（3）≥f（1）+2=4，．
令x=2，则f（4）≥f（2）+2，f（0）+4≤f（2）+2≤f（4）≤5，
得f（0）≤1，4≤f（3）≤f（0）+3，
得f（0）≥1．得f（0）=1，
∴5≤f（2）+2≤5，得f（2）+2=5，f（2）=3．
∴3≤f（-1）+3，f（-1）≥0，得f（-1）=0，
∵f（x+6）=f（x）+6，
∴f（2015）=f（-1+6×336）=f（-1）+6×336=0+2016=2016．
故答案为：2016．

点评 本题考查函数值的求法，考查特值法及函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．