Question

7．已知函数f（x）=-x³+ax²-x-1在（-∞，+∞）上存在极值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
• B． （-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
• C． （-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 函数f（x）=-x³+ax²-x-1在（-∞，+∞）上存在极值，可得f′（x）=0有两个不等实数根．因此△＞0，解出a的取值范围即可得出．

解答 解：f′（x）=-3x²+2ax-1．
∵函数f（x）=-x³+ax²-x-1在（-∞，+∞）上存在极值，
∴f′（x）=0有两个不等实数根．
∴△=4a²-4×（-3）×（-1）＞0，解得$a＜-\sqrt{3}$或a$＞\sqrt{3}$．
∴实数a的取值范围是$（-∞，-\sqrt{3}）$∪（$\sqrt{3}，+∞$）．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．