Question

19．已知{a_n}是各项为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，b₂+b₃=2a₃，a₅-3b₂=7．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，n∈N^*，求数列{c_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）有${c_n}=（{2n-1}）{2^{n-1}}$，利用错位相减法即可得出．

解答 解：（1）设{a_n}的公比为q，{b_n}的公差为d，由题意q＞0，
由已知，有$\left\{{\begin{array}{l}{2{q^2}-3d=2}\\{{q^4}-3d=10}\end{array}}\right.$，
消去d得q⁴-2q²-8=0，解得q=2，d=2，
所以{a_n}的通项公式为${a_n}={2^{n-1}}，n∈{{N}^*}$，{b_n}的通项公式为${b_n}=2n-1，n∈{{N}^*}$．
（2）由（1）有${c_n}=（{2n-1}）{2^{n-1}}$，设{c_n}的前n项和为S_n，
则${S_n}=1×{2^0}+3×{2^1}+5×{2^2}+…+（{2n-1}）×{2^{n-1}}$，
$2{S_n}=1×{2^1}+3×{2^2}+5×{2^3}+…+（{2n-1}）×{2^n}$，
两式相减得$-{S_n}=1+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-（{2n-1}）×{2^n}=-（{2n-3}）×{2^n}-3$，
所以${S_n}=（{2n-3}）{2^n}+3$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．