Question

3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，2sinA=acosB，b=$\sqrt{5}$．
（1）若c=2，求sinC；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理求出sinB，在求sinC即可；
（2）根据余弦定理建立关系，利用基本不等式的性质求解即可．

解答 解：∵2sinA=acosB，b=$\sqrt{5}$．
由正弦定理：$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$
可得：2sinB=$\sqrt{5}$cosB，
∵sin²B+cos²B=1，
∴sinB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，cosB=$\frac{2}{3}$
（1）∵c=2，
∴sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{2}{3}$．
（2）∵cosB=$\frac{2}{3}$
由余弦定理，可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{2}{3}$
∴a²+c²-$\frac{4}{3}ac$=5，
∵a²+c²≥2ac
∴5+$\frac{4}{3}ac$≥2ac，
可得：ac≤$\frac{15}{2}$．
△ABC面积S=$\frac{1}{2}$acsinB$≤\frac{1}{2}×\frac{15}{2}×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$
故得△ABC面积的最大值为：$\frac{5\sqrt{5}}{4}$

点评 本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，基本不等式的运用．属于中档题．