Question

15．若点O和点F分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最小值为2．

Answer 1

分析 求得椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的中心和左焦点，利用坐标表示向量，借助于椭圆方程，利用配方法，即可求得最小值．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的中心和左焦点为O（0，0），F（-1，0）
∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，∴y²=3-$\frac{3}{4}{x}^{2}$（-2≤x≤2）
设P（x，y），则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=（x，y）•（x+1，y）=x²+x+y²=x²+x+3-$\frac{3}{4}{x}^{2}$=$\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$
∵-2≤x≤2，
∴x=-2时，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查向量知识的运用，考查配方法，解题的关键是用坐标表示向量，建立函数关系式．