Question

5．如图所示，等腰梯形ABCD的点C，D为半圆上的动点，CD∥AB，底边AB为圆O的直径，∠BOC=θ，OB=1．设等腰梯形ABCD的周长为y．
（Ⅰ）请写出y与θ之间的函数关系；
（Ⅱ）当θ取何值时，等腰梯形ABCD的周长最大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理和等腰梯形的性质即可求出；
（Ⅱ）利用二倍角公式化简三角函数的解析式可得=$\frac{π}{3}$，y_max=5．

解答 解：（Ⅰ）在△OCB中，由余弦定理可得BC²=OB²+OC²-2OB•OCcosθ=2-cosθ，
∴BC=$\sqrt{2-2cosθ}$，
∵CD∥AB，
∴∠OCD=∠COB=θ
同理△OCD中，由余弦定理可得OD²=CD²+OC²-2CD•OCcosθ，θ
∴CD=2cosθ
∴y=2$\sqrt{2-cosθ}$+2cosθ+2，（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得y=2$\sqrt{2-cosθ}$+2cosθ+2=2×2sin$\frac{θ}{2}$+2（1-2sin²$\frac{θ}{2}$）+2
=-4sin²$\frac{θ}{2}$+4sin$\frac{θ}{2}$+4，
=-4（sin$\frac{θ}{2}$-$\frac{1}{2}$）²+5，
当sin$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}$时，即θ=$\frac{π}{3}$，y_max=5．

点评 本题考查了函数解析式的求法和三角函数的化简和求值，属于中档题．