Question

20．如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BFD；
（Ⅱ）求三棱锥C-BGF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意可知：G是AC中点，CE⊥BF，F是AC中点，由此能证明AE∥平面BFD．
（Ⅱ） 法一：三棱锥C-BGF的体积V_C-BFG=V_G-BCF，由此能求出果．
法二：三棱锥C-BGF的体积${V_{C-BFG}}=\frac{1}{4}{V_{C-ABE}}=\frac{1}{4}•{V_{A-BCE}}$，由此能求出果．

解答 证明：（Ⅰ）∵矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，
F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G，
∴依题意可知：G是AC中点．
∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，
而BC=BE．∴F是AC中点．
在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．
解：（Ⅱ） 解法一：∵矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，
F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G．
∴三棱锥C-BGF的体积${V_{C-BFG}}={V_{G-BCF}}=\frac{1}{3}•{S_{△CFB}}•FG=\frac{1}{3}$．
解法二：∵矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，
F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G．
∴三棱锥C-BGF的体积${V_{C-BFG}}=\frac{1}{4}{V_{C-ABE}}=\frac{1}{4}•{V_{A-BCE}}=\frac{1}{4}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•BC•BE•AE=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．