Question

8．已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+t$\overrightarrow{AB}$（t∈R）．
（1）分别要使点P在x轴上、y轴上、第二象限内，求t的值或取值范围；
（2）四边形OABP是否有可能为平行四边形？如可能，求出相应的t值；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出P点坐标，根据P的位置列方程或不等式得出答案；
（2）令$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{AB}$列方程组，根据方程组是否有解得出结论．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$=（1，2）+t（3，3）=（3t+1，3t+2），
∴P（3t+1，3t+2），
若P在x轴上，则3t+2=0，即t=-$\frac{2}{3}$；
若P在y轴上，则3t+1=0，即t=-$\frac{1}{3}$；
若P在第二象限内，则$\left\{\begin{array}{l}{3t+1＜0}\\{3t+2＞0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{2}{3}＜$t＜-$\frac{1}{3}$．
（2）假设四边形OABP为平行四边形，则$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{AB}$=（3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3t+1=3}\\{3t+2=3}\end{array}\right.$，不等式组无解，
∴四边形OABP是不可能为平行四边形．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．