Question

16．已知正项等比数列{a_n}：a₉-a₈=2a₇，若存在两项a_m，a_n，使得a_ma_n=64a₁²，则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 16
• D． 2

Answer 1

分析 根据a₉-a₈=2a₇，求出公比的值，利用使得a_ma_n=64a₁²，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值．

解答 解：设等比数列的公比为q（q＞0），则
∵a₉-a₈=2a₇，
∴a₇q²-a₇q=2a₇，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在两项a_m，a_n使得a_ma_n=64a₁²，
∴q^m+n-2=64，
∴m+n=7，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）（m+n）=1+9+$\frac{n}{m}$+$\frac{9m}{n}$≥10+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}$=16，当且仅当m=$\frac{7}{4}$，n=$\frac{21}{4}$，
故$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为16．，
故选：C

点评 本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．