Question

1．已知直线y=kx-1与双曲线x²-y²=4．
（1）若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；
（2）若直线与双曲线只有一个公共点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用代数法，先联立方程，消元后得到一个方程，即判别式小于零，即可求出k的范围
（2）用代数法，先联立方程，消元后得到一个方程，先研究相切的情况，即判别式等于零，再研究与渐近线平行的情况．

解答 解：（1）由题意令$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$，得x²-（kx-1）²=4，整理得（1-k²）x²+2kx-5=0
当1-k²=0，k=±1时，显然符合条件；
当1-k²≠0时，有△=20-16k²＜0，解得k＜-$\frac{\sqrt{5}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
综上，k取值范围是k=±1，k＜-$\frac{\sqrt{5}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）由（1）△=0，△=20-16k²=0
∴k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
又注意直线恒过点（0，-1）且渐近线的斜率为±1，与渐近线平行时也成立，
∴k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$；k=±1

点评 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．