Question

15．如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-B₁CD的体积．

Answer 1

分析 （I）设BC₁与CB₁的交点坐标为O，连结OD，利用中位线定理可得OD∥AC₁，故而AC₁∥平面CDB₁；
（II）求出C到AB的距离即为C到平面ABB₁A₁的距离，代入棱锥的体积公式即可．

解答 （I）证明：设BC₁与CB₁的交点坐标为O，连结OD，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，
∴O是BC₁的中点，又D是AB的中点，
∴OD∥AC₁，
又OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（II）解：在Rt△ABC中，C到AB的距离h=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
又平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
∴C到平面ABB₁A₁的距离为h=$\frac{12}{5}$．
∴V${\;}_{{A}_{1}-{B}_{1}CD}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}D}$•h=$\frac{1}{3}×5×4×\frac{12}{5}$=16．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．