Question

5．在三角形△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）当b=4$\sqrt{2}$，a=c，求此三角形的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，化简整理a²+c²-b²=-ac，再由余弦定理，求得角B的大小，
（Ⅱ）由三角行的内角和定理，求得A，C，再由正弦定理，求得a，c的值，可求得三角形的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC，
由正弦定理得，2b²=（2a+c）a+（2c+a）c，…（1分）
化简得，a²+c²-b²=-ac．…（2分）
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{-ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$．…（4分）
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{2π}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）∵b=4$\sqrt{2}$，a=c，B=$\frac{2π}{3}$，可得：A=C=$\frac{π}{6}$，
∴a=c=$\frac{b•sinA}{sinB}$=$\frac{4\sqrt{2}×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×$\frac{4\sqrt{6}}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．…（10分）

点评 本题在△ABC中给出边与角的正弦的等式，要我们求角的大小并且由此求三角形的面积，着重考查了正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于基础题．