Question

3．已知椭圆：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（-1，$\frac{3}{2}$），右顶点为A，经过点F的动直线l：x=my+1与椭圆C交于B、C两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）记△AOB和△AOC的面积分别为S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=1，运用椭圆的定义，可得a=2，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆的方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，讨论m=0和m≠0时，|S₁-S₂|的表达式，由基本不等式可得最大值．

解答 解：（1）由题意可得c=1，
由椭圆的定义可得2a=$\sqrt{（1+1）^{2}+\frac{9}{4}}$+$\frac{3}{2}$=4，
即为a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）直线l方程为：x=my+1，
联立C得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），（y₁＞0，y₂＜0），
则y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
当m=0时，显然|S₁-S₂|=0；
当m≠0时，|S₁-S₂|=|$\frac{1}{2}$•2•y₁-$\frac{1}{2}$•2•（-y₂）|=|y₁+y₂|=$\frac{6|m|}{4+3{m}^{2}}$
=$\frac{6}{3|m|+\frac{4}{|m|}}$≤$\frac{6}{2\sqrt{3|m|•\frac{4}{|m|}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当3|m|=$\frac{4}{|m|}$，即m=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时取等号，
综合得m=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，|S₁-S₂|的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，韦达定理以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．