Question

11．设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆上的点．若PF₁⊥F₁F₂，∠F₁PF₂=60°，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 设F₁（-c，0），F₂（c，0），由题意可得x_P=-c，代入椭圆方程求得P的坐标，再由解直角三角形的知识，结合离心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：设F₁（-c，0），F₂（c，0），由题意可得x_P=-c，
代入椭圆方程，解得y_P=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
在直角三角形F₁PF₂中，
tan60°=$\frac{{F}_{1}{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{2c}{\frac{{b}^{2}}{a}}$，
即有$\sqrt{3}$b²=2ac，
即为$\sqrt{3}$a²-2ac-$\sqrt{3}$c²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得$\sqrt{3}$e²+2e-$\sqrt{3}$=0，
解得e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（负的舍去）．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程及运用，考查离心率的求法，注意运用解直角三角形，以及离心率公式，考查运算能力，属于中档题．