Question

6．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F是椭圆的右焦点，点A（0，-2），若直线AF的斜率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点A倾斜角为$\frac{2π}{3}$的直线l与E相交于P，Q两点，求△OPQ的面积．

Answer 1

分析 （1）设F（c，0），运用直线的斜率公式可得c，再由离心率公式可得a，进而得到椭圆方程；
（2）求得直线的方程，设出P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，即可得到所求三角形的面积．

解答 解：（1）设F（c，0），由A（0，-2），直线AF的斜率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
可得$\frac{2}{c}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，得$c=\sqrt{3}$，
又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以a=2，b²=a²-c²，
故E的方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）直线的斜率为：tan120°=$-\sqrt{3}$，所以直线方程为：$y=-\sqrt{3}x-2$，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{3}x-2\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.\end{array}$，
消y，化简得：$13{x^2}+16\sqrt{3}x+12=0$，
可得${x_1}+{x_2}=-\frac{{16\sqrt{3}}}{13}，{x_1}•{x_2}=\frac{12}{13}$，
则$PQ=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{24}{13}$，
原点O到直线的距离：$d=\frac{|-2|}{{\sqrt{1+3}}}=1$，
所以：${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}d•|PQ|=\frac{12}{13}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和斜率公式，考查三角形的面积的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．