Question

9．已知f（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$．求证：
（1）f（x）在定义域上为增函数；
（2）满足等式f（x）=1的实数x的值至多只有一个．

Answer 1

分析 （1）根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，从而证明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在定义域上为增函数；
（2）可求出$f（1）=0，f（4）=\frac{7}{4}$，而f（x）在（0，+∞）上为单调函数，且是连续函数，从而便可得出满足等式f（x）=1的实数x的值至多只有一个．

解答 证明：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\sqrt{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）+\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴$\sqrt{{x}_{1}}＞\sqrt{{x}_{2}}$，$\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}＞0，{x}_{1}-{x}_{2}＞0，{x}_{1}{x}_{2}＞0$；
∴$（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）+\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在定义域上为增函数；
（2）f（1）=0，f（4）=$\frac{7}{4}$，$1∈（0，\frac{7}{4}）$；
又f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）是连续函数；
∴满足等式f（x）=1的实数x的值至多只有一个．

点评 考查函数定义域的概念及求法，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，单调函数中的x，y的对应关系．