Question

17．设函数f（x）=sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，利用周期公式即可得解．
（2）由范围x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可得解值域．

解答 解：（1）∵f（x）=sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）
=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
∴函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的值域为：[-$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题值域考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角函数周期公式的应用，属于基础题．