Question

5．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x-3|-1，x＞1}\\{lo{g}_{2}（x+1），0≤x≤1}\end{array}\right.$则函数g（x）=f（x）-m（0＜m＜1）的所有零点之和为（　　）

• A． 1-2^m
• B． 2^m-1
• C． 1-（$\frac{1}{2}$）^m
• D． （$\frac{1}{2}$）^m-1

Answer 1

分析 根据f（x）为R上的奇函数，从而可以得出x＜0时，f（x）的解析式，根据f（x）的解析式便可画出f（x）在R上的图象，可设f（x）=m的实根为a，b，c，d，e，根据图象便可得出a+b=-6，d+e=6，而0＜c＜1，从而有f（c）=log₂（c+1）=m，这样即可求出c，从而可以求出g（x）所有零点之和．

解答 解：∵函数f（x）是奇函数；
∴当x＜0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{1-|x+3|}&{x＜-1}\\{-lo{g}_{2}（1-x）}&{-1＜x＜0}\end{array}\right.$；
作出函数f（x）在R图象如图：

由g（x）=f（x）-m=0，即f（x）=m；
由图象可知函数f（x）=m有5个根，不妨设为x=a，b，c，d，e．且a＜b＜c＜d＜e；
则a，b关于x=-3对称，d，e关于x=3对称，0＜c＜1；
∴$\frac{a+b}{2}=-3，\frac{d+e}{2}=3$；
∴a+b=-6，d+e=6；
∵0＜c＜1；
由f（c）=m得，log₂（c+1）=m；
∴c+1=2^m；
∴c=2^m-1；
∴零点之和为a+b+c+d+e=-6+2^m-1+6=2^m-1．
故选：B．

点评 考查奇函数的定义，对于奇函数，已知一区间上的函数解析式可以求其对称区间上的解析式，能画出函数f（x）的图象是本题求解的关键，以及对数式和指数式的互化，数形结合解题的方法．