Question

10．如图，已知椭圆C的一个顶点（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图所示，A，B是椭圆C上的两点，且|AB|=$\sqrt{3}$，求△AOB面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，由题设有$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-1}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=3$，解得a²=3，故椭圆的方程可求；
（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出面积，利用配方法可求最值，从而可得结论．

解答 解：（1）依题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，
则右焦点F（$\sqrt{{a}^{2}-1}$，0），
由题设有$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-1}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=3$，解得：a²=3．
故所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△ABO的面积为S．
如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），此时S=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$；
如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，可得x²+3（kx+m）²=3，
即（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
又△=36k²m²-4（1+3k²）（3m²-3）＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$\frac{12（1+3{k}^{2}-{m}^{2}）}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$①，
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}{x}_{2}|$及|AB|=$\sqrt{3}$，得（x₁-x₂）²=$\frac{3}{1+{k}^{2}}$②，
由①②可得m²=（1+3k²）-$\frac{（1+3{k}^{2}）^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$．
又原点O到直线AB的距离为$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}•\sqrt{3}$，
因此S²=-$\frac{3}{16}（\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-2）^{2}+\frac{3}{4}$，
∵$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}=3-\frac{2}{1+{k}^{2}}$∈[1，3），
∴$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-2∈$[-1，1），
则S²∈[$\frac{9}{16}，\frac{3}{4}$]，
∴S∈[$\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
故△AOB的面积的取值范围是[$\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查椭圆的几何性质，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．