Question

1．l与抛物线y²=2px相交于A、B两点，O为原点，如果0A垂直于0B，则l一定过（　　）

• A． （$\frac{p}{2}$，0）
• B． （p，0）
• C． （2p，0）
• D． （3p，0）

Answer 1

分析 可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），为设出l的方程，讨论l的斜率：（1）存在斜率时，可设方程为y=kx+b，可看出k≠0，b≠0，从而可联立l方程和抛物线方程消去x得到${y}^{2}-\frac{2p}{k}y+\frac{2pb}{k}=0$，这样根据韦达定理可得到${y}_{1}{y}_{2}=\frac{2pb}{k}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$，从而根据OA⊥OB便可得到b=-2pk，这样便可得出直线l过定点（2p，0）；（2）斜率不存在时，设方程为x=m，m≠0，联立抛物线方程即可求出y₁y₂=-2pm，从而由OA⊥OB即可得到m=2p，这样便可得出l过定点（2p，0），从而综合这两种情况便可得到l所过的定点．

解答 解：设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）；
（1）若直线l存在斜率，设方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$消去x得${y}^{2}-\frac{2p}{k}y+\frac{2pb}{k}=0$；
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2p}{k}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{2pb}{k}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}-b（{y}_{1}+{y}_{2}）+{b}^{2}}{{k}^{2}}=\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$；
∵OA⊥OB；
∴x₁x₂+y₁y₂=0；
∴$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}+\frac{2pb}{k}=0$；
∵b≠0；
∴b+2pk=0；
∴b=-2pk；
∴直线l的方程为y=kx-2pk=k（x-2p）；
∴l过定点（2p，0）；
（2）若直线l不存在斜率，设直线方程为x=m，m≠0；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$得，y²=2pm，∴$y=±\sqrt{2pm}$，即y₁y₂=-2pm；
∵OA⊥OB；
∴x₁x₂+y₁y₂=0；
即m²-2pm=0；
∵m≠0；
∴m=2p；
∴直线l的方程为x=2p；
∴l过定点（2p，0）；
综上得，l一定过（2p，0）．
故选：C．

点评 考查直线的斜截式方程，韦达定理，向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，不要漏了斜率不存在的情况．