Question

16．设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan∠AMB=2$\sqrt{2}$，则|AB|=8．

Answer 1

分析 设AB方程y=k（x-1），与抛物线方程y²=4x联立，利用tan∠AMB=2$\sqrt{2}$，建立k的方程，即可得出结论．．

解答 解：焦点F（1，0），M（-1，0），设AB方程y=k（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵tan∠AMB=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}{1+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，
整理可得2k（x₁-x₂）=2$\sqrt{2}$（x₁+1）（x₂+1）+2$\sqrt{2}$y₁y₂…（*）
y=k（x-1），与y²=4x联立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
可得x₁x₂=$\frac{1}{4}$p²=1，x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，y₁y₂=-p²=-4
代入（*）可得2k（x₁-x₂）=2$\sqrt{2}$（$\frac{4}{{k}^{2}}$），∴x₁-x₂=$\frac{4\sqrt{2}}{{k}^{3}}$，
∴（$\frac{4}{{k}^{2}}$+2）²-4=（$\frac{4\sqrt{2}}{{k}^{3}}$）²，
∴k=±1，
∴x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2=6，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{36-4}$=8
故答案为：8．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查差角的正切公式，正确运用韦达定理是关键．