Question

4．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，AB=AD=AA₁=2．底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD=90°，∠BCD=45°．
（]）求三棱锥C-B₁C₁D₁的体积；
（2）求证：B₁D₁⊥平面CDD₁C₁．

Answer 1

分析 （1）求出底面积，即可求三棱锥C-B₁C₁D₁的体积；
（2）利用线面垂直的判定定理证明B₁D₁⊥平面CDD₁C₁．

解答 （1）解：∵AB=AD=2．底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD=90°，∠BCD=45°，
∴B₁C₁=4，
∵AA₁⊥底面ABCD，AA₁=2，
∴三棱锥C-B₁C₁D₁的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×2$=$\frac{8}{3}$；
（2）证明：△B₁C₁D₁中，B₁C₁=4，B₁D₁=D₁C₁=2$\sqrt{2}$，
∴B₁C₁²=B₁D₁²+D₁C₁²，
∴B₁D₁⊥D₁C₁，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，
∴CC₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，
∴CC₁⊥B₁D₁，
∵D₁C₁∩CC₁=C₁，
∴B₁D₁⊥平面CDD₁C₁．

点评 本题考查三棱锥C-B₁C₁D₁的体积，线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．