Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，BC=1，CC₁=2，BC₁=$\sqrt{3}$．
（1）求证：BC₁⊥平面ABC；
（2）当二面角A-CC₁-B为$\frac{π}{3}$时，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）证明C₁B⊥平面ABC，根据本题条件，需要证明BC₁AB⊥，由AB⊥侧面BB₁C₁C就可以解决；而要证明C₁B⊥BC，则需要通过解三角形来证明．
（2）作出垂直于C₁C的截面，利用体积公式求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

解答 （1）证明：在△BCC₁中，
∵BC=1，CC₁=2，BC₁=$\sqrt{3}$
∴∠CBC₁=90°，∴BC⊥BC₁，
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，BC₁?面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC₁⊥平面ABC；
（2）解：如图所示，作BD⊥C₁C，连接AD，则∠ADB=$\frac{π}{3}$，
由等面积可得BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴AB=$\frac{3}{2}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直，考查三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．