Question

11．设ABCDEF是边长为1的正六边形，PA垂直于正六边形所在的平面，且PA=2．求
（1）点P到直线CD的距离，
（2）直线BC与平面PAD的距离，
（3）点A到平面PBD的距离，
（4）异面直线CD与PE所成的角，
（5）直线PD与平面PAB所成的角，
（6）二面角C-PD-E的大小．

Answer 1

分析 根据根据距离的定义以及空间角的求解分别进行计算即可．

解答 解：（1）连接AC，在正六边形中，AC⊥CD，
∵PA垂直于正六边形所在的平面，
∴PA⊥CD，则CD⊥平面PAC，
则CD⊥PC，即点P到直线CD的距离为PC，
∵ABCDEF是边长为1的正六边形，PA=2，
∴AD=2，AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-1}=\sqrt{3}$．
则PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{1+3}=\sqrt{4}$=2，
（2）∵BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
过B作BM⊥AD，
则BM是直线BC与平面PAD的距离，
则BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）∵BD⊥PA，
∴BD⊥面PAB，
过A作AN⊥PB，则AN⊥面PBD，
即AN是点A到平面PBD的距离，
△PAB中，PA=2，AB=1，PB=$\sqrt{5}$，
则AN•PB=PA•AB，即AN=$\frac{PA•AB}{PB}=\frac{2×1}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（4）∵CD∥BE，
∴BE与PE所成的角就是异面直线CD与PE所成的角，
∵BE=2，PB=$\sqrt{5}$，
∴tan∠PEB=$\frac{PB}{BE}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，即∠PEB=arctan$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
即异面直线CD与PE所成的角为arctan$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（5）∵BD⊥AB，PA⊥BD，
∴BD⊥面PAB，
则PB是PD在平面PAB上的射影，
则∠DPB是直线PD与平面PAB所成的角，
∵PB=$\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{3}$，
∴tan∠DPB=$\frac{BD}{PB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{13}}{5}$，
则∠DPB=arctan$\frac{\sqrt{13}}{5}$．
（6）∵△PCD≌△PDE，
∴过C作CK⊥PD，连接KE，
则KE⊥PD，
则∠CKE是二面角C-PD-E的平面角，
∵CD⊥AC，PA⊥CD，
∴CD⊥面PAC，则CD⊥PC，
则PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
则CD•PC=PD•CK，
即CK=$\frac{CD•PC}{PD}$=$\frac{1×\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
则KE=CK=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
在△CKE中，cos∠CKE=$\frac{C{K}^{2}+K{E}^{2}-C{E}^{2}}{2CK•KE}$=$\frac{（\frac{\sqrt{14}}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{14}}{4}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}{2×\frac{\sqrt{14}}{4}×\frac{\sqrt{14}}{4}}$=$-\frac{5}{7}$，
即∠CKE=arccos（$-\frac{5}{7}$）．

点评 本题主要考查空间距离的计算以及空间角的求解，根据相应的定义进行是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．