Question

1．已知平面五边形ADCEF关于BC对称，点B在AF上（如图1），DE与BC交于点G，且AD=AB=1，CD=BC=$\sqrt{3}$，将此图形沿BC折叠成直二面角，连接AF，DE得到几何体（如图2）．
（1）证明：平面DEG∥平面ABF；
（2）求多面体ABC-DEF的体积．

Answer 1

分析 （1）证明：DG∥平面ABF，GE∥平面ABF，利用平面与平面平行的判定定理证明平面DEG∥平面ABF；
（2）图（2），连接DF，GF，则多面体ABC-DEF的体积=V_F-ABGD+V_F-DGE．

解答 （1）证明：由平面图形，可得DG∥AB，GE∥BF，
∵DG?平面ABF，AB?平面ABF，
∴DG∥平面ABF．
同理GE∥平面ABF．
∵DG∩GE=G，
∴平面DEG∥平面ABF；
（2）解：图（1），连接AC，则由勾股定理可得AC=2，
∴∠BCD=60°，
∴DG=$\frac{3}{2}$，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
图（2），连接DF，GF，则多面体ABC-DEF的体积=V_F-ABGD+V_F-DGE=$\frac{1}{3}×\frac{1+\frac{3}{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$+$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查线面平行、平面与平面平行的判定，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．