Question

9．如图，ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥面ABCD，且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E为PD的中点．
（1）求作：AE∥平面PBC；
（2）求面PAD与面PBC所成的角．

Answer 1

分析 （1）取PC中点F，连接EF、BF．利用三角形中位线定理，可得EF∥DC且EF=$\frac{1}{2}DC$，结合题意得EF∥AB，且EF=AB，所以ABFE为平行四边形，可得AE∥BF，由此即得AE∥面PBC；
（2）建立以A为坐标原点，以DA，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 解：（1）取PC中点F，连接EF、BF．
∵△PCD中E、F分别为PD、PC的中点，
∴EF∥DC且EF=$\frac{1}{2}DC$，
∵AB∥DC且AB=$\frac{1}{2}DC$，∴EF∥AB，且EF=AB，
∴ABFE为平行四边形，可得AE∥BF，
∵AE?面PBC，BF?面PBC，∴AE∥面PBC．
（2）∵ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥面ABCD，且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，
∴以A为坐标原点，以DA，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图：
则A（0，0，0），D（-1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，3），C（-1，2，0），
则平面PAD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，3）
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-y+3z=0}\end{array}\right.$，令z=1，则y=3，x=3．即$\overrightarrow{n}$=（3，3，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{9+9+1}}=\frac{3}{\sqrt{19}}$=$\frac{3\sqrt{19}}{19}$，
即＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=arccos$\frac{3\sqrt{19}}{19}$，
则求面PAD与面PBC所成的角为arccos$\frac{3\sqrt{19}}{19}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角的常用方法．