Question

12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的点P到左、右两焦点F₁，F₂的距离之和为2$\sqrt{2}$，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在同时满足①②两个条件的直线l？
①过点M（0，$\frac{1}{3}$）；
②存在椭圆上与右焦点F₂共线的两点A、B，且A、B关于直线l对称．

Answer 1

分析 （I）由椭圆定义和离心率，列出方程组，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）当直线l与y轴重合时，l的方程为x=0；当直线l与x轴平行时，不符合条件； 当直线l既不与x轴平行，又不与y轴重合时，设直线AB的方程为y=k（x-1），直线l的方程为y=-$\frac{1}{k}x+\frac{1}{3}$，联立直线AB与椭圆方程，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韦达定理、根的判别式能求出结果．

解答 解：（I）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的点P到左、右两焦点F₁，F₂的距离之和为2$\sqrt{2}$，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2a=2\sqrt{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，∴a=$\sqrt{2}$，c=1，b=$\sqrt{2-1}$=1，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．…（4分）
（Ⅱ）①假设存在符合条件的直线l，
当直线l与y轴重合时，两点A、B可位于长轴两个端点，符合条件．
此时l的方程为x=0； …（5分）
②当直线l与x轴平行时，不符合条件； …（6分）
③当直线l既不与x轴平行，又不与y轴重合时，
由F₂（1，0），可设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线l的方程为y=-$\frac{1}{k}x+\frac{1}{3}$，
联立直线AB与椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化简得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$，
∴AB的中点坐标为G（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$）．
结合题意知点G在直线l上，∴$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$•$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{1}{3}$，
整理得：2k²-3k+1=0，解得k=1或k=$\frac{1}{2}$，
此时直线l的方程为y=-x+$\frac{1}{3}$或y=-2x+$\frac{1}{3}$． …（13分）
综上所述，存在符合条件的直线l，方程分别为x=0，y=-x+$\frac{1}{3}$或y=-2x+$\frac{1}{3}$．…（14分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．