Question

11．如图，正方体AC₁的棱长为1，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，以下四个命题：
①点H是△A₁BD的垂心；
②AH垂直平面CB₁D₁
③直线AH和BB₁所成角为45°；
④AH的延长线经过点C₁
其中假命题的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 首先，判断三棱锥 A-BA₁D为正三棱锥，然后，得到△BA₁D为正三角形，得到H为A在平面A₁BD内的射影，然后，根据平面A₁BD与平面B₁CD₁平行，得到②正确，最后，结合线面角和对称性求解．

解答 解：∵AB=AA₁=AD，BA₁=BD=A₁D，
∴三棱锥 A-BA₁D为正三棱锥，
∴点H是△A₁BD的垂心，故①正确；
∵平面A₁BD与平面B₁CD₁平行，AH⊥平面A₁BD，
∴AH垂直平面CB₁D₁，∴②正确；
∵AA₁∥BB₁，∴∠A₁AH就是直线AH和BB₁所成角，
在直角三角形AHA₁中，
∵AA₁=1，A₁H=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴sin∠A₁AH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴③错误，
根据正方体的对称性得到AH的延长线经过C₁，∴④正确；
故选：B．

点评 本题重点考查空间中点线面的位置关系，属于中档题．