Question

1．在等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₁=7，且a₂，a₅，a₁₀成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（2）若${b_n}=\frac{5}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a₂，a₅，a₁₀成等比数列，
∴（7+d）（7+9d）=（7+4d）²，
又∵d≠0，∴d=2，
∴${a_n}=2n+5，{S_n}=\frac{{（{7+2n+5}）n}}{2}={n^2}+6n$．   …（7分）
（2）由（1）可得${b_n}=\frac{5}{{（{2n+5}）•（{2n+7}）}}=\frac{5}{2}（{\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}}）$，
∴${T_n}=\frac{5}{2}（{\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+…+\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}}）=\frac{5n}{14n+49}$．  …（12分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．