Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，其中$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1）．
（Ⅰ）试计算$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值； 
（Ⅱ）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用向量的加减坐标运算和数量积的坐标表示以及模的公式，计算即可得到所求；
（Ⅱ）运用向量的夹角公式：cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，-1），
$\overrightarrow{b}$=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（4，3），
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4-3=1；
$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（5，2），
即有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{25+4}$=$\sqrt{29}$；
（Ⅱ）由（1）可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，
|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{16+9}$=5，
即有cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查向量的运算，很重要考查向量的数量积的坐标表示和夹角公式，考查运算能力，属于基础题．