Question

11．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，AB=1，AC=$\sqrt{2}$，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．
（1）证明：平面PCE⊥平面PAB；
（2）证明：MN∥平面PAC；
（3）若∠PAC=60°，求二面角P-CE-A的大小．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的性质定理证明平面PCE⊥平面PAB．
（2）根据面面平行的性质定理证明平面MNF∥平面PAC，即可证明MN∥平面PAC；
（3）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（1）∵∠APC=90°，∴PC⊥AP，
∵AB⊥平面PAC，PC?平面PAC，
∴AB⊥PC，
∵AP∩AB=A，
∴PC⊥平面PAB，
∵PC?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PAB；
（2）取AE的中点F，连接FN，FM，
∵M是CE的中点，∴MF是△AEC的中位线，
则MF∥AC，AB=2AE=4AF
∵4PN=PB，
∴PB：PN=AB：AF，则FN∥AP，
∵AP∩PC=C，∴平面MNF∥平面PAC；
∵MN?面MNF；
∴MN∥平面PAC，
（3）过P作PO⊥AC于O，则PO⊥平面ABC，过O作AB的平行线交BC于H，
以O坐标原点建立空间坐标系如图：
若∠PAC=60°，
∵∠APC=90°，AB=1，AC=$\sqrt{2}$，E是AB的中点，M是CE的中点，
∴AP=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OA=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，OC=AC-OA=$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
OP=APsin60°=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，AE=$\frac{1}{2}$，
则A（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，0，0），E（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{1}{2}$，0），C（-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，0，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{4}$），
则平面AEC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面PEC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{CE}$=（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{PC}$=（-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，0，-$\frac{\sqrt{6}}{4}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{-\frac{3\sqrt{2}}{4}x-\frac{\sqrt{6}}{4}z=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{y=-2\sqrt{2}z}\\{z=-\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，令x=1，则z=-$\sqrt{3}$，y=2$\sqrt{2}$，
即$\overrightarrow{n}$=（1，2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$），则|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{1+8+3}$=2$\sqrt{3}$，
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$═-$\frac{1}{2}$，
即＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=120°，
∵二面角P-CE-A是锐二面角，
∴二面角P-CE-A的大小为60°．

点评 本题综合考查空间中面面垂直，线面平行的判断和空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，综合性较强，运算量较大．