Question

2．如图，在多面体EF-ABCD中，四边形ABCD，ABEF均为直角梯形，∠ABE=∠ABC=$\frac{π}{2}$，四边形DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：DF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若BC=CD=CE=$\frac{1}{2}$AB，求直线BF与平面ADF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出EF∥平面ABCD，从而有AB∥CD∥EF，AB⊥CE，DC⊥DF，由此能证明DF⊥平面ABCD．
（Ⅱ）设BC=1，则BC=CD=CE=1，AB=2，连接BD，则BD⊥AD，DF⊥BD，从而BD⊥平面FAD，∠BFD即为直线BF与平面ADF所成角，由此能求出直线BF与平面ADF所成角的正弦值．

解答 （本题满分15分）
证明：（Ⅰ） 四边形DCEF为平行四边形，知EF∥CD，
∴EF∥平面ABCD，
又平面ABEF∩平面ABCD=AB，从而有AB∥CD∥EF．
∵$∠ABE=∠ABC=\frac{π}{2}$，∴AB⊥平面BCE，∴AB⊥CE，
又四边形DCEF为平行四边形，有DF∥CE，∴DC⊥DF，
又∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD=DC，
∴DF⊥平面ABCD．…（7分）
解：（Ⅱ）不妨设BC=1，则BC=CD=CE=1，AB=2，
四边形ABCD均为直角梯形，连接BD，则有$BD=AD=\sqrt{2}$
则BD⊥AD
由DF⊥平面ABCD知DF⊥BD，
∴BD⊥平面FAD，
则∠BFD即为直线BF与平面ADF所成角，…（11分）
在△BFD中，DF⊥BD，$BD=\sqrt{2}，DF=1$，
则$BF=\sqrt{3}$
∴$sin∠BFD=\frac{BD}{DF}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴直线BF与平面ADF所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（15分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．