Question

7．在平面直角坐标系xOy中，A点的直角坐标为$（\sqrt{3}+2cosα，1+2sinα）$（α为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为$2ρcos（θ+\frac{π}{6}）=m$．（m为实数）．
（1）试求出动点A的轨迹方程（用普通方程表示）
（2）设A点对应的轨迹为曲线C，若曲线C上存在四个点到直线的距离为1，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意写出A的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$，把两式移项平方作和得答案；
（2）化直线的极坐标方程为直角坐标方程，画出图形，应用点到直线的距离公式求解．

解答 解：（1）设A（x，y），又A点的直角坐标为$（\sqrt{3}+2cosα，1+2sinα）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$，把两式移项平方作和得：$（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}=4$；
（2）由$2ρcos（θ+\frac{π}{6}）=m$，
得$2ρ×\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-2ρ×\frac{1}{2}sinθ=m$，即$\sqrt{3}x-y-m=0$，
如图，要使曲线C上存在四个点到直线的距离为1，
则圆C的圆心C（$\sqrt{3}，1$）到直线$\sqrt{3}x-y-m=0$的距离小于1．
即$\frac{|3-1-m|}{2}$＜1，解得0＜m＜4．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了参数方程化普通方程，考查数形结合的解题思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．