Question

17．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，若E为棱AB的中点，
①求四棱锥B₁-BCDE的体积
②求证：面B₁DC⊥面B₁DE．

Answer 1

分析 ①由正方形的性质和四棱锥的体积公式结合已知数据可得；
②取B₁D的中点O，设BC₁∩B₁C=F，连接OF，可先证明OE⊥平面B₁DC，再证明面面垂直．

解答 证明：①由正方形的性质可得B₁B平面BEDC，
∴四棱锥B₁-BCDE的体积V=$\frac{1}{3}$•S_梯形BCDE•B₁B=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$（a+$\frac{1}{2}$a）•a•a=$\frac{{a}^{3}}{4}$；
②取B₁D的中点O，设BC₁∩B₁C=F，连接OF，
∵O，F分别是B₁D与B₁C的中点，∴OF∥DC，且OF=$\frac{1}{2}$DC，
又∵E为AB中点，∴EB∥DC，且EB=$\frac{1}{2}$DC，
∴OF∥EB，OF=EB，即四边形OEBF是平行四边形，∴OE∥BF，
∵DC⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，∴BC₁⊥DC，∴OE⊥DC．
又BC₁⊥B₁C，∴OE⊥B₁C，又∵DC?平面B₁DC，B₁C?平面B₁DC，DC∩B₁C=C，
∴OE⊥平面B₁DC，又∵OE?平面B₁DE，∴平面B₁DC⊥面B₁DE．

点评 本题考查几何体的体积求解和平面与平面垂直的证明，属中档题．