Question

9．扇形周长为4，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为2．

Answer 1

分析 设出弧长和半径，由周长得到弧长和半径的关系，再把弧长和半径的关系代入扇形的面积公式，转化为关于半径的二次函数，配方求出面积的最大值．

解答 解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=4，
即l=4-2r（0＜r＜2），①
扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lr，将①代入，得S=$\frac{1}{2}$（4-2r）r=-r²+2r=-（r-1）²+1，
所以当且仅当r=1时，S有最大值1．
此时l=4-2×1=2，α=$\frac{l}{r}$=2．所以当α=2rad时，扇形的面积取最大值．
故答案为：2．

点评 本题考查角的弧度数与度数间的转化，扇形的弧长公式和面积公式的应用，体现了转化的数学思想．