Question

20．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；
②若m?β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥l；
③若m是平面α的一条斜线，A∉α，l为过A的一条动直线，则可能有l⊥m且l⊥α；
④若α⊥β，α⊥γ，则γ∥β
其中真命题的个数2．

Answer 1

分析 利用空间线面关系定理分别对四个命题分析选择．①由面面垂直的判定定理可知正确；②由三垂线定理可证；③④可举反例说明错误．

解答 解：由l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，知：
在①中，若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；
在②中，若m?β，n是l在β内的射影，m⊥l，则由三垂线定理得m⊥l，故②正确；
③若m是平面α的一条斜线，A∉α，l为过A的一条动直线，则可能有l⊥m且l⊥α；
若m是平面α的一条斜线，l⊥α，则l和m不可能垂直，故③错误；
④若α⊥β，α⊥γ，则γ∥β错误，如墙角的三个面的关系，故④错误．
故答案为：2．

点评 本题考查空间的线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是基础题．