Question

5．已知函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}），x∈R$．
（Ⅰ）在给定坐标系中，用“五点法”作出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；
（Ⅱ）求f（x）的对称中心；
（Ⅲ）求直线$y=\frac{1}{2}$与函数y=f（x）的图象交点的横坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用“五点法”作出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；
（Ⅱ）根据三角函数的对称性即可求f（x）的对称中心；
（Ⅲ）根据直线$y=\frac{1}{2}$与函数y=f（x）的图象的关系解方程即可求出交点的横坐标．

解答 解：（Ⅰ）列表：

x	$-\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
$2x+\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）	0	1	0	-1	0

函数图象如下图所示：

（Ⅱ）∵y=sinx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z），
∴由$2x+\frac{π}{3}=kπ$知：$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}（k∈Z）$，
∴f（x）的对称中心为$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}，0）（k∈Z）$
（Ⅲ）由$sin（2x+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$知：$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{6}+2kπ$或$2x+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}+2kπ$（k∈Z），
∴$x=-\frac{π}{12}+kπ$或$x=\frac{π}{4}+kπ（k∈Z）$
即直线$y=\frac{1}{2}$与函数y=f（x）的图象交点的横坐标为$x=-\frac{π}{12}+kπ$或$x=\frac{π}{4}+kπ（k∈Z）$

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图，难度不大．