Question

16．在直角坐标系xOy中，已知A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率k_AC，k_BC满足条件${k_{AC}}{k_{BC}}=-\frac{1}{2}$．
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）过点（1，0）作直线l交曲线C于M，N两点，若线段MN中点的横坐标为$\frac{1}{3}$．求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直线AC，BC的斜率k_AC，k_BC满足条件${k_{AC}}{k_{BC}}=-\frac{1}{2}$，即可求动点C的轨迹方程；
（2）分类讨论，直线代入椭圆方程，利用韦达定理，结合线段MN中点的横坐标为$\frac{1}{3}$，求出k，即可求此时直线l的方程．

解答 解：（1）设C（x，y）
$\begin{array}{l}∴{k_{AC}}=\frac{y}{{x+\sqrt{2}}}（x≠-\sqrt{2}），{k_{BC}}=\frac{y}{{x-\sqrt{2}}}（x≠\sqrt{2}）\\ 又{k_{AC}}•{k_{BC}}=-\frac{1}{2}\\∴\frac{y}{{x+\sqrt{2}}}•\frac{y}{{x-\sqrt{2}}}=-\frac{1}{2}化简得：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1（x≠±\sqrt{2}）\\ 故所求轨迹方程为：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1（x≠±\sqrt{2}）\end{array}$
（2）解：当直线斜率不存在时，不满足题意．
当直线斜率存在时，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l的方程为：y=k（x-1），
代入椭圆方程，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{2}{3}\\ 解之得：k=±\frac{1}{2}，故所求直线方程为：y=±\frac{1}{2}（x-1）.\end{array}$，
∴k=±$\frac{1}{2}$，
∴直线l的方程y=±$\frac{1}{2}$（x-1）．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．