Question

6．（题类A）以椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）短轴端点A（0，1）为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形．

Answer 1

分析 由题意设出等腰直角三角形两边所在直线方程：l_AB：y=kx+1（k＞0），l_AC：y=-$\frac{1}{k}$x+1，分别联立直线方程和椭圆方程，求出|AB|，|AC|的长度，利用|AB|=|AC|得，k³-a²k²+a²k-1=0，然后分析方程根的情况得答案．

解答 解：设三角形另外两顶点为B，C，不妨设l_AB：y=kx+1（k＞0），l_AC：y=-$\frac{1}{k}$x+1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+a²k²）x²+2ka²x=0，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{A}-{x}_{B}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{2k{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$．
同理可得：|AC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{2{a}^{2}}{{k}^{2}+{a}^{2}}$．
由|AB|=|AC|得，k³-a²k²+a²k-1=0，
即（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0，解得k=1或k²+（1-a²）k+1=0．
对于k²+（1-a²）k+1=0，
由（1-a²）²-4=0，得a=$\sqrt{3}$，此时方程的根k=1；
当1＜a＜$\sqrt{3}$时，方程k²+（1-a²）k+1=0无实根；
当a＞$\sqrt{3}$时，方程k²+（1-a²）k+1=0有两个不等实数根．
∴当a＞$\sqrt{3}$时，这样的三角形有3个；当1＜a≤$\sqrt{3}$时这样的三角形有1个．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和圆锥曲线位置关系的应用，训练了函数零点的求法，是中档题．