Question

19．将下列函数的最小正周期T填在空格内：
（1）y=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），T=π
（2）y=sinx+$\sqrt{3}$cosx，T=2π
（3）y=cos²$\frac{π}{2}$x+1，T=2
（4）y=sin⁴x-cos⁴x，T=π
（5）y=sin²x+2sinxcosx，T=π
（6）y=sin⁴x+cos⁴x，T=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 先利用三角函数恒等变换的应用对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．

解答 解：（1）∵y=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），∴T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵y=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），∴T=$\frac{2π}{1}$=2π；
（3）∵y=cos²$\frac{π}{2}$x+1=$\frac{1+cosπx}{2}$+1=$\frac{1}{2}$cosπx+$\frac{3}{2}$，∴T=$\frac{2π}{π}$=2；
（4）∵y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）=-cos2x，∴T=$\frac{2π}{2}$=π
（5）∵y=sin²x+2sinxcosx=$\frac{1-cos2x}{2}$+sin2x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{1}{2}$，（其中tanφ=$\frac{1}{2}$），∴T=$\frac{2π}{2}$=π；
（6）∵y=sin⁴x+cos⁴x=1-2sin²xcos²x=1-$\frac{1}{2}$sin²2x=$\frac{1}{4}$cos4x+$\frac{3}{4}$，∴T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数的周期公式的应用，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为T=$\frac{2π}{|ω|}$，属于基础题．